Función escalón de Heaviside

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario o de causalidad a la derecha del cero, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo, incluido el cero:^[1]^[2]^[3]

{\begin{aligned}u:\mathbb {R} &\to \{0,1\}\\x&\mapsto u(x)\end{aligned}}

que se define de esta forma:

u(x)={\begin{cases}0&\mathrm {si} &x<0\\1&\mathrm {si} &x\geq 0\end{cases}}

En ocasiones esta función suele denotarse por $H(x)$ .

Existen varias maneras diferentes de definir la función de Heaviside, no todas ellas equivalentes. Las diferentes definiciones no equivalentes difieren solo en el valor $H(0)$ , que es convencional. La mayoría de autores lo definen como $H(0)=1$ , otros $H(0)=0$ . Algunos que lo definen como $H(0)=1/2$ , ya que maximiza la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:

H(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}

H(x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {sgn} (x)\right)

Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para $H(0)$ , de la siguiente forma:

H_{\alpha }(x)={\begin{cases}0,&x<0\\\alpha ,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\qquad \alpha \in \left\{0,{\frac {1}{2}},1\right\}

Una forma de representar esta función es a través de la integral

H(x)=\lim _{\epsilon \to 0}-{1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +i\epsilon }e^{-ix\tau }{\text{d}}\tau

Definición como límite de otras funciones.

H(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{e^{-nx}+1}},\qquad H(x)=\lim _{t\to 0}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {x}{t}}\right)

H(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1+\tanh(nx)}{2}}

Aproximaciones analíticas

Para una aproximación mediante una función continuamente diferenciable a la función escalón, se puede usar la función logística

H(x)\approx {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh(kx)={\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-2kx}}},

donde una $k$ más grande corresponde a una transición más afilada en $x=0$ . Si tomamos $H(0)=1/2$ , la igualdad se establece en el límite:

H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-2kx}}}.

Existen algunas otras aproximaciones analíticas suaves para la función escalón.^[4] Entre las posibilidades están:

H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(kx)\right)

H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} (kx)\right).

H(x)={\begin{cases}{\frac {|x|+x}{2x}},&x\neq 0\\{\frac {1}{2}},&x=0\end{cases}}

Estos límites se mantienen para todo punto^[5] así como en el sentido de distribuciones. En general, sin embargo, la convergencia para todo punto no necesariamente implica convergencia para la distribución, y viceversa, la convergencia para la distribución no necesariamente implica convergencia para todo punto.^[6]

en general, cualquier función de distribución acumulativa (c.d.f) de una distribución de probabilidad continua que es muestreada alrededor de cero y tiene un parámetro que controla la varianza puede servir como una aproximación en el límite conforme la varianza se aproxima a cero. Por ejemplo, los tres ejemplos anteriores son funciones de distribución acumulativa de distribuciones de probabilidad común: distribución logística, de Cauchy y normal, respectivamente.

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