Pregunta de pec 2026

Ejercicio 2 (25%)

En una fábrica de componentes electrónicos, cada pieza pasa por una máquina de marcado láser que graba una secuencia de símbolos a lo largo de su superficie mientras avanza por una cinta transportadora. Para garantizar la calidad del componente, el sistema exige que el patrón grabado sea perfectamente simétrico respecto al punto central de la pieza. Sin embargo, la máquina no indica explícitamente cuál es este punto central: simplemente graba una secuencia continua de símbolos {0,1} mientras la pieza pasa por la cinta. Una vez realizado el marcado, un sistema automático de control de calidad recibe la secuencia de símbolos producida y debe decidir si la pieza es aceptable. Una pieza es aceptable si el patrón de símbolos en la segunda mitad de la pieza es exactamente el reflejo del patrón de la primera mitad. Por ejemplo, las palabras {00, 0110, 1111} serían aceptadas por este sistema, pero no las palabras {10101, 11011}, ya que tienen un símbolo central que hace que la secuencia no se pueda dividir en exactamente dos mitades. El sistema tampoco acepta la palabra vacía. Además, es posible que la máquina añada uno o varios 2 en cualquier parte de la secuencia a efectos de control, aunque este símbolo no debe tenerse en cuenta en la decisión de si la palabra es o no aceptable. Además, el sistema no puede aceptar palabras que solo tengan símbolos 2. Por ejemplo, las palabras {002, 012102} serían aceptadas, pero no {2, 222}.

2.1 ¿Creéis que puede existir realmente una máquina de marcado láser como la descrita en el enunciado? Razonad vuestra respuesta.

Para responder a la pregunta planteada sobre la viabilidad de la máquina de marcado y el sistema de control de calidad, debemos analizar el lenguaje formal (o conjunto de palabras aceptadas) que describe el enunciado.

Análisis del Lenguaje de las Piezas Aceptables

El enunciado define las siguientes reglas para que una secuencia sea aceptada por el sistema:

1. Estructura simétrica: La segunda mitad de la pieza debe ser exactamente el reflejo (inverso) de la primera mitad. Es decir, si la secuencia se divide en dos partes, $w=u\cdot v$, entonces v=u^R (donde u^R es la palabra invertida de $u$).

2. Exclusión del símbolo central: Las palabras deben tener una longitud par, ya que deben dividirse exactamente en dos mitades, sin un símbolo central impar que rompa la simetría.

3. Manejo del símbolo '2': El símbolo '2' puede aparecer en cualquier parte de la secuencia, pero debe ignorarse al evaluar la simetría. Esto equivale a decir que si eliminamos todos los símbolos '2' de la secuencia original, la cadena restante debe ser un palíndromo de longitud par compuesto únicamente por '0' y '1'.

4. Exclusiones especiales: * La palabra vacía ($ϵ$) no es aceptada.

   • Las palabras que consisten únicamente en el símbolo '2' (ej. $2,222$) no son aceptadas (deben contener al menos un '0' o un '1').

El lenguaje de las secuencias aceptadas se puede definir formalmente como:

donde π{0,1}​(w) denota la proyección de la cadena eliminando todos los caracteres '2'.

2.1 ¿Puede existir realmente una máquina como la descrita?

Respuesta: Sí, el sistema es completamente realizable y viable desde el punto de vista de la teoría de autómatas y la ingeniería de sistemas.

A continuación, se detallan las razones técnicas y prácticas de por qué existe y puede construirse:

1. Es un lenguaje reconocido por un Autómata de Pila (PDA)

Desde la perspectiva de la teoría de la computación, el lenguaje sin los símbolos '2' (es decir, Lbase​={u⋅u^R∣u∈{0,1}+}) es un lenguaje libre de contexto.

• Pila como memoria de inversión: Un autómata puede leer la primera mitad de los símbolos y almacenarlos en una pila. Al llegar a la segunda mitad, el autómata compara y extrae los símbolos de la pila para verificar que coincidan en orden inverso.

• Ignorar el símbolo '2': La máquina puede incluir un estado o preprocesamiento que simplemente lea el símbolo '2' sin modificar el contenido de la pila y continúe el proceso.

2. Implementación mediante procesadores digitales y sensores

En un entorno industrial, la máquina de control de calidad no requiere ser un mecanismo complejo, sino que puede implementarse fácilmente mediante un microcontrolador o un autómata programable (PLC):

• Filtro de ruido: Un sensor óptico o un programa de control puede filtrar el carácter '2' mediante software o hardware antes de realizar la validación lógica.

• Memoria y control: Un simple búfer (memoria en cola o pila) en un procesador estándar de 8 o 16 bits puede almacenar los símbolos {0,1} y ejecutar el algoritmo de verificación en milisegundos, muy por debajo de la velocidad a la que avanza una cinta transportadora.

3. Restricciones de exclusión de casos triviales

Las restricciones de rechazar la palabra vacía ($ϵ$) o secuencias compuestas únicamente por el símbolo '2' son comprobaciones booleanas simples que se pueden resolver con un contador de caracteres útiles (0 y 1). Si el contador es mayor que cero, la palabra es válida para ser procesada.

Conclusión

La máquina de marcado y el sistema de control son totalmente realizables mediante la tecnología de control de calidad industrial estándar y autómatas de pila o microprocesadores programables.